Misteri Angka 0: Hasil Bagi bilangan dengan angka Nol

Hmmmmm......jika beberapa waktu yang lalu saya pernah memposting kenapa negatif dikalikan negatif hasilnya positif, maka pada kesempatan ini saya akan mencoba mengungkap misteri pembagian bilangan dengan 0 (nol). Bagi yang sudah tahu, tunjuk jarinya nanti saja....hehehehe

Pembagian dengan nol adalah operasi yang jawabannya menjadi ‘misteri’, ga percaya coba saja pake beragam kalkulator, bagaimana hasilnya. Beragam kan? Ada yang muncul tulisan 0 di layar lcd kalkulator angka 0 dengan tambahan huruf E alias error....hehe. Sehingga pembagian dengan angka 0 seringnya dianulir karena jawabannya tidak ada atau sebagian menyebut undefined (tak terdifinisikan) atau bahkan ada yang menyebutnya infinity (tak terhingga) . Apa iya  demikian, mana yang benar? Mari kita lihat logika matematika berikut:

Pertama, Mari kita coba mengaitkan pembagian dengan perkalian. Sebut saja contoh berikut:

6/2=3, karena 2 dikalikan 3 adalah 6

10/2=5, karena 2 dikalikan 5 adalah 10

Karenanya ada rumusan bahwa a=b/c ==> b=a x c atau c = b/a

Lantas bagaimana jika 7/0=x?

Mengikuti rumus/kaidah/aksioma diatas, jika 7/0=x, maka x dikalikan 0 = 7. Sayangnya Tidak ada angka yang bisa menggantikan x, karena berapapun angka jika dikalikan dengan 0 hasilnya sama dengan 0.

Kedua, seringnya  ketika kita membagi satu angka dengan yang lain, kita berharap hasilnya menjadi angka lain (harus berbentuk angka). Lihatlah urutan angka berikut 1/ (1/2), 1/(1/3), 1/(1/4), dst.... Perhatikan bahwa dasar dari pembagian adalah 1/2, 1/3, 1/4, dst..., dan  bahwa mereka akan nol (kan harus berbentuk angka). Jika ada batas untuk urutan ini, kita akan mengambil angka itu dan menyebutnya 1/0, jadi mari kita lihat apakah ada.

Nah, ternyata urutan,1,2,3,4 dst ..., mendekati tak terhingga. Karena tak terhingga bukan angka sebenarnya, maka kita tidak memberikan nilai apapun untuk 1/0.  Sehingga hanya bisa dikatakan tidak terdefinisi.

Ketiga, Tapi jika kita berpikir untuk menyebutkan bahwa 1/0 = tak terhingga. Nah, apanya yang  "tak terhingga"? Bagaimana jika itu kita coba  pada persamaan lainnya?

Sebut saja andai : tak terhingga - tak terhingga = 0; dan 1 + tak terhingga = tak terhingga, maka:

1 + (tak terhingga - tak terhingga) = 1 + 0 = 1, tapi (1 + tak terhingga) - tak terhingga = tak terhingga - tak terhingga = 0. Beda kan, yang satu hasilnya 1 dan yang lainnya hasilnya 0.

Nah..nah, dalam hal ini, maka  aturan asosiatif tidak bekerja, karena dalam sifat asosiatif penjumlahan (a + b) + c = a + (b + c) 

Keempat, Jika kita punya mangga 20 buah kemudian akan dibagi habis kepada 2 kelompok anak, maka tiap kelompok akan mendapatkan 10 buah mangga, artinya 20/2 = 10

Jika 7/0 =? Bagaimana kita  bisa membagi 7 buah mangga dalam 0 kelompok anak.

Tidak peduli berapa banyak anak dalam kelompok nol yang kita miliki, karena mereka tidak pernah akan menambahkan hingga tujuh, karena  0 + 0 + 0 + 0 + 0 +0+0= 0. Anda bahkan dapat memiliki satu juta kelompok nol anak, dan tetap saja 0. Jadi, itu tidak masuk akal untuk membagi dengan nol karena tidak ada jawaban yang baik.

Setiap kali saya mencoba untuk membagi angka dengan 0 di excel , saya mendapatkan error. Atau coba praktekkan saja perhitungan ini di excel Anda:

       1/1

       1 / 0,1

       1 / 0,01

       1 / 0,001

       1 / 0,0001

       1 / 0,00001

       dll ...apa hasilnya....the formula you typed contains an error...begitu kurang lebih balasan excel. So, apapun sebutan Anda terhadap 1/0, bagi saya tidak ada jawabannya...hehehehe.....karena hampir pasti saya tidak akan membagi 1 dengan 0. Hehehehehe.....lagi.

Baca juga :
Logika negatif dikalikan negatif sama dengan positif

Teori Bilangan

Tak kenal maka tak sayang, demikian kata pepatah. Nah, agar kita sayang pada pelajaran matematika marilah bersama-sama kita mengenalnya diawali dengan teori-teori matematika. Kalau pada kesempatan yang lalu kita sudah membahas teori himpunan, kali ini kita akan membahas tentang teori bilangan.

Teori Bilangan merupakan cabang matematika yang secara umum membahas bilangan dan sifat-sifatnya (khususnya integer), berikut masalah dan klas masalah yang muncul dalam pembahasan. Bidang matematika ini sebelumnya dikenal dengan aritmatika. Akan tetapi dengan meluasnya kajian yang dilakukan (tidak terbatas dengan hanya kalkulasi dan sifatnya), selanjutnya bidang ini dikenal dengan teori bilangan.

Teori bilangan terbagi dalam beberapa subbidang, sesuai dengan metode yang digunakan dan jenis kajian yang diteliti, yaitu:

(1) Teori bilangan elementer

Yang menjadi obyek kajian adalah bilangan integer dengan pendekatan dasarnya adalah konsep keterbagian (divisibility). Dengan konsep dasar tersebut dikaji algoritma Euclid, pembagi bersama terbesar (greatest common divisor), faktorisasi integer ke dalam bilangan-bilangan prima, hubungan kekongruenan, persamaan Diophantine, bilangan sempurna (perfect number). Disamping itu dibahas pula barisan integer, faktorial, dan bilangan Fibonacci. Beberapa teorema yang penting dalam kajian teori bilangan antara lain teorema Euler, Teorema Fermat, teorema sisa Cina (Chinesse remainder theorem). Beberapa fungsi dan sifatnya yang muncul dalam kajian ini antara lain fungsi Mobius, fungsi Euler-j.

Beberapa teorema dalam teori bilangan elementer dapat dijelaskan dengan menggunakan pengertian-pengertian dalam teori bilangan elementer walaupun dengan kajian yang mendalam. 

Akan tetapi terdapat teorema yang memerlukan pendekatan lain di luar teori bilangan elementer untuk menyelesaikannya, seperti:

(i ) Konjektur Golbach, berhubungan dengan penyajian bilangan genap sebagai jumlah dua bilangan prima,

(ii)  Konjektur Catalan (sekarang dikenal dengan teorema Mihailescu), yang berhubungan dengan pangkat integer-integer berturutan

(iii)  Teorema terakhir Fermat, berhubungan dengan ketakmungkinan untuk memperoleh integer taknol x, y, z yang memenuhi xⁿ + yⁿ = zⁿ, untuk n > 2.

(Teorema ini dinyatakan sekitar tahun 1637 tak terbuktikan sampai tahun 1994)

(2) Teori bilangan analitik

Digunakan untuk masalah dalam teori bilangan elementer yang tidak dapat (atau sulit) dipecahkan menggunakan pendekatan teori bilangan elementer (seperti yang telah disebutkan di atas). Teori bilangan analitik ini menggunakan sarana kalkulus dan analisis kompleks untuk menangani pemecahan masalah yang berhubungan dengan integer. Beberapa diantaranya adalah teorema bilangan prima dan hubungannya dengan hipotesis Riemann, masalah Waring (penyajian integer sebagai jumlahan dari pangkat 2, 3, … dari integer). Di sini dipelajari juga pembuktian tetapan matematis transedental seperti e dan p (tetapi tetapan tersebut tidak

Angka 0 dan Bilangan Tak Terdefinisikan

Sekali lagi kita akan membahas angka nol. Kali ini kaitannya dengan bilangan tak terhingga dan tak terdefinisikan. Kita sepakati dulu ya kedua istilah tersebut sebelum kita membahasnya lebih dalam. Tak terhingga itu dalam bahasa gaulnya berarti tidak ada batasnya karena saking banyaknya, sedangkan tak terdefinisikan itu tidak dapat dilambangkan/tidak ada. (gmn, sepakat kan). 

Langsung saja ya.......(catatan kita bicara pada bilangan real dan tanda "/" artinya dibagi)

8/2=4 (pasti semua juga tahu ya.....), kenapa 8/2 = 4 ya? gampangnya, karena 8=2 x 4 atau 2 x 4=8 (ya ga??). sehingga a/b=c dan a=b x c.

Begitu pula kita sepakat bahwa 0/1=0, karena 1 x 0 = 0

Lalu bagaimana jika 1/0  ? Ingat sesuai rumusan diatas jika 1/0=a, maka seharusnya 1= 0 x a. Nah pertanyaannya apakah ada bilangan yang jika di kalikan 0 hasilnya 1, padahal dalam posting sebelumya sudah disebutkan bahwa semua bilangan jika dikalikan dengan 0 hasilnya adalah sama dengan 0.  Kesimpulannya adalah jika 1 dibagi dengan 0 maka hasilnya tidak terdifinisikan. 

TAPI tunggu dulu, karena jika kita belajar matematika lebih lanjut, maka ada istilah analisis kompleks yaitu bidang kompleks perluasan (Extended Complex Plane) atau disebut juga Riemann sphere . Didalam Riemann sphere, 1/0=∞ (tak terhingga). Tentu saja ada penjelasan matematisnya.

Misteri Angka 0 (Nol)

Pada postingan lalu kita sudah membicarakan bilangan dan angka. Sekarang kita akan membicarakan angka 0 (nol). Kenapa 0 (nol), ya...?? karena menurut hemat saya dan banyak orang tentunya, angka 0 (nol) memiliki keistimewaan. Bilangan bulat yang satu ini uniq. tapi dimana ya letak keunikannya?. Berikut penjelasannya:

Dalam operasi matematika setiap bilangan jika dikalikan 0, maka hasilnya juga 0, misal:
2   x 0 = 0
12 x 0 = 0
sehingga, a  x 0 = 0Dalam operasi penjumlahan, setiap bilangan yang dijumlahkan dengan 0 hasilnya adalah bilangan itu sendiri, misal:
1 + 0 = 1
5 + 0 = 5
sehingga, a + 0 = a

Begitu pula, jika bilangan dikurangi dengan 0, maka hasilnya bilangan itu sendiri, misal
1 - 0 = 1
5 - 0 = 5
sehingga, a - 0 = a

Itulah yang saya maksud dengan keunikan angka 0, disamping itu 0 juga bisa menyebabkan bilangan tak terdefinisikan dalam operasi hitung. Ingin tahu klik disini

Samakah Bilangan dengan Angka

Nah, sekarang kita coba memulai mengenal matematika. Kita mulai dari angka, karena matematika identik dengan angka-angka. Kita akan mencoba membedakan pengertian angka dan bilangan. 

Penting lo ini  dibahas agar kalian memiliki pemahaman yang benar tentang angka dan

bilangan sehingga tidak salah kaprah. Masak sih kalian mau disamakan dengan orang yang tidak pernah sekolah (belajar matematika)...hehehehehe...canda. 

Satu lagi, mungkin kalian seringnya melupakan perbedan bilangan dan angka dan lebih fokus pada rumus-rumus yang rumit. Dalam penggunaan sehari-hari, angka dan bilangan seringkali disamakan, padahal secara definisi, angka dan bilangan merupakan tiga entitas yang berbeda

langsung saja ya!!

Untuk mudahkannya akan saya beri contoh begini: pada waktu SD masih ingatkan jika 234 itu nama bilangannya adalah dua ratus tiga puluh empat. Nah, dua ratus tiga puluh empat tersebut dinamakan bilangan. Sedangkan 2, 3 dan 4 yang melambangkan bilangan  dua ratus tiga puluh empat disebut angka.

Tepatnya, angka adalah suatu tanda atau lambang yang digunakan untuk melambangkan bilangan. Nah, karena angka adalah suatu tanda atau lambang, maka kita mengenal banyak ragam angka, sebut saja bilangan enam dilambangkan 6 untuk angka arab atau dilambangkan VI dalam angka romawi.

Bagaimana sudah jelas kan bedanya, asyik kan utak-atik matematika, makanya kalian jangan takut sama matematika dan mari belajar menyukai matematika........