Aljabar :Pengertian Dasar (Bagian I) -Persamaan

Apa itu Persamaan?

Sumber gambar : alenasani.com

Namanya juga persamaan dari kata dasar ‘sama’ yang mendapatkan awalan dan akhiran ‘per-an’. Dengan demikian persamaan berarti ada dua hal yang sama. Dalam Matematika, persamaan ditandai dengan tanda sama dengan atau  "=" seperti berikut:

x + 6 = 12

Persamaan diatas menyatakan: apa yang ada di sebelah kiri (x + 6) adalah sama dengan apa yang ada di sebelah kanan (12).

Bagian dari Persamaan

Ada bagian-bagian pada sebuah persamaan . Sebut saja untuk contoh persamaan  8x-4 sama dengan 12 atau ditulis :

8x - 4 = 12

Dalam persamaan tersebut, ada beberapa bagian dan penamaannya, yaitu:

Variabel adalah simbol untuk angka yang belum kita ketahui (bisa x, y atau z) dalam persamaan diatas yang merupakan variable adalah x.

Konstanta adalah angka yang berdiri sendiri, dalam contoh persamaan diatas adalah angka 4 dan 12.

Koefisien adalah angka yang digunakan untuk memperbanyak variabel (8x berarti 8 kali x, sehingga 8 adalah koefisien).

Lebih jelasnya, lihat persamaan ini dan tentukan bagian-bagian persamaannya.

ax² + bx + c

Nah, tentunya perdasarkan persamaan diatas dapat ditentukan bagian-bagian persamaannya sebagai berikut:

x adalah variabel

a dan b adalah koefisien

c adalah konstanta 

Latihan soal 

Himpunan Kosong dan Contoh Soal

Jika pada posting terdahulu saya sudah membahas tentang himpunan, maka pada kali ini saya secara spesifik akan membahas tentang himpunan kosong dan contoh soalnya. Himpunan  kosong  adalah  himpunan  yang  tidak  mempunyai  anggota.  Dilambangkan dengan  Æ atau { }. Karenanya apakah { Æ } bisa disebut himpunan kosong? tentuya tidak! karena { Æ }adalah himpunan dengan anggota Æ. Begitu pula { 0 } juga bukan himpunan kosong, akan tetapi adalah himpunan yang memiliki satu anggota yaitu 0.

Contoh himpunan kosong :

- Himpunan bilangan genap yang ganjil

- {x | x2< 0, x bilangan real}

- Himpunan orang yang tingginya 4 meter

Himpunan Semesta, Himpunan Kosong dan Himpunan Bagian
Operasi Himpunan
Sifat Operasi Himpunan

Untuk lebih jelasnya selesaikan soal-soal berikut:

Tabel Pengguna Ponsel di sepuluh Negara

Berdasarkan Gambar tabel diatas selesaikan soal nomor 1-5 berikut:

1. {x| x adalah Negara dengan penggunaan ponsel kurang dari 250 juta }
2. {x| x adalah Negara dengan penggunaan ponsel lebih dari 250 juta }
3. {x| x adalah Negara dengan penggunaan ponsel antara 250 juta s/d 500 juta }
4. {x| x adalah Negara dengan penggunaan ponsel lebih dari 650 juta }
5. {x| x adalah Negara dengan penggunaan ponsel kurang dari 70 juta }

Grafik Penjualan Ipod Tahun 2003-2008

Berdasarkan Gambar grafik selesaikan soal nomor 6-10 berikut:

6. {x| x adalah tahun penjualan Ipod lebih dari 20 juta buah }
7. {x| x adalah tahun penjualan Ipod lebih dari 2 juta buah }
8. {x| x adalah tahun penjualan Ipod lebih dari 70 juta buah }

soal selengkapnya dapat download file soal: disini (pdf, 30 kb)
materi dan soal himpunan lengkap bisa didownload disini (pdf, 5,21 MB)

Phi, Misteri dan Sejarah Panjang Temuannya

sumber gambar : fintalk.biz

Phi, yang biasa ditulis dengan symbol sebagaimana gambar, sudah banyak diantara kita mengetahuinya...hehehe., iya kan? Sederhananya phi kita kenal sebagai konstanta berupa angka yang dipergunakan dalam operasi hitung untuk obyek lingkaran. Sudah menjadi kesepakatan, nilai phi adalah 22/7 atau 3,14.....

Masalahnya kenapa phi bisa memiliki nilai sebesar 22/7 atau 3,14? Kenapa kok .....misal phi nilainya 1 (satu) saja, kan enak jadinya, peserta didik tidak kesulitan menghitung luasan lingkaran, begitupun guru matematika tidak harus mikir-mikir membuat soal yang berhubungan dengan phi sehingga hasil perhitungannya tidak aneh-aneh.......,yang koma-komanya banyak.....hehehehe...Becanda Sahabat Belajar Menyukai Matematika.

Sahabat merasa ada yang aneh tidak dengan symbol phi? Tidak ya, karena pakar-pakar kebanyakan datangnya dari negeri jauh disana, kayak phi, yang katanya merupakan huruf Yunani. Coba, mau nulis di postingan saja harus nambah-nambah aplikasi gitu....hehehehe.

Phi merupkan perbandingan antara keliling lingkaran dengan diameternya. Berdasarkan percobaan yang dilakukan berkali-kali, selalu ditemukan bahwa keliling lingkaran dibanding diameternya selalu mendekati angka 3,141592653....yang umumnya disingkat menjadi 3,14. Dari Babilonia kuno (hampir 4000 tahun yang) sampai hari ini, matematikawan telah berusaha untuk menghitung angka phi yang misterius itu. Mereka telah mencari pecahan tepat, untuk angka yang diawali dengan 3,14159 2653 ..., yang umumnya disingkat menjadi 3,14.

Perburuan phi dimulai dari bangsa Babilonia dan Mesir, bisa dibayangkan, era sebegitu lamanya mereka sudah penasaran, melakukan eksperimen untuk membandingkan keliling lingkaran dengan diameternya. Tidak ada rekaman video selfie yang dengan jelas menggambarakan bagaimana mereka menemukan pendekatan mereka untuk pi (hmmm...andai jaman sekarang ya), tapi salah satu sumber menyatakan klaimnya, bahwa mereka hanya membuat lingkaran besar, dan kemudian diukur lingkar dan diameter dengan seutas tali. Mereka menggunakan metode ini untuk menemukan pi yang sedikit lebih besar dari 3.

Jika orang-orang di Balilonia dan Yunani tempo dulu telah melakukan eksperimen dan menghasilkan phi yang sedikit lebih besar dari 3, pada sekitar 1650 SM, Rhind Papyrus yang ditulis oleh Ahmes menyebutkan: "Potong 1/9 dari diameter dan buat sebuah persegi pada sisanya, ini memiliki area yang sama dengan lingkaran" . Dengan kata lain, dia menunjukkan bahwa pi = 4 (8/9) 2 = 3,16049, yang juga cukup akurat. Temuan ini tidak sempat menyebar ke Timur (apalagi sampai ke Indonesia, hehehe...).

       

Selama beberapa ratus tahun kemudian, tidak ada terobosan signifikan yang dibuat dalam pencarian phi. Di Cina nilai phi yang digunakan adalah 3. Menjelang akhir abad ke-5, TsuCh'ung-chih dan putranya Tsu Keng-chih menemukan sesuatu yang menakjubkan tentang phi. Ketika duet maut ayah dan anak itu menyebut bahwa phi sebagai nilai yang terletak diantara   3,1415926 dan 3,1415927 atau 3,1415926 <phi <3,1415927. Sesaat setelah itu, matematikawan Hindu Aryabhata memberikan nilai phi sebesar 62.832 / 20.000 = 3,1416 meski sebagaimana orang lain, ia pun tampaknya tidak pernah menggunakannya.

Hhmmmm....perjalanan belum berakhir Sahabat Menyukai Matematika, rasa ingin tahu membuat para ilmuwan selalu berupaya mencari nilai phi yang mendekati kebenarannya. Sampai akhirnya pada abad kedua puluh, komputer mengambil alih dan menguasai  dunia hitung-hitungan.....

Atau Anda akan melakukan riset tentang phi?....hehehehe. pastinya dalam dunia lingkaran luas lingkaran = (phi) x (r) x (r), meskipun ada beberapa soal matematika yang harus bersusah-susah memberi kurung penjelasan.....(kerjakan dengan phi=3,14)  atau (kerjakan dengan phi 22/7).......hehehehe

Misteri Angka 0: Hasil Bagi bilangan dengan angka Nol

Hmmmmm......jika beberapa waktu yang lalu saya pernah memposting kenapa negatif dikalikan negatif hasilnya positif, maka pada kesempatan ini saya akan mencoba mengungkap misteri pembagian bilangan dengan 0 (nol). Bagi yang sudah tahu, tunjuk jarinya nanti saja....hehehehe

Pembagian dengan nol adalah operasi yang jawabannya menjadi ‘misteri’, ga percaya coba saja pake beragam kalkulator, bagaimana hasilnya. Beragam kan? Ada yang muncul tulisan 0 di layar lcd kalkulator angka 0 dengan tambahan huruf E alias error....hehe. Sehingga pembagian dengan angka 0 seringnya dianulir karena jawabannya tidak ada atau sebagian menyebut undefined (tak terdifinisikan) atau bahkan ada yang menyebutnya infinity (tak terhingga) . Apa iya  demikian, mana yang benar? Mari kita lihat logika matematika berikut:

Pertama, Mari kita coba mengaitkan pembagian dengan perkalian. Sebut saja contoh berikut:

6/2=3, karena 2 dikalikan 3 adalah 6

10/2=5, karena 2 dikalikan 5 adalah 10

Karenanya ada rumusan bahwa a=b/c ==> b=a x c atau c = b/a

Lantas bagaimana jika 7/0=x?

Mengikuti rumus/kaidah/aksioma diatas, jika 7/0=x, maka x dikalikan 0 = 7. Sayangnya Tidak ada angka yang bisa menggantikan x, karena berapapun angka jika dikalikan dengan 0 hasilnya sama dengan 0.

Kedua, seringnya  ketika kita membagi satu angka dengan yang lain, kita berharap hasilnya menjadi angka lain (harus berbentuk angka). Lihatlah urutan angka berikut 1/ (1/2), 1/(1/3), 1/(1/4), dst.... Perhatikan bahwa dasar dari pembagian adalah 1/2, 1/3, 1/4, dst..., dan  bahwa mereka akan nol (kan harus berbentuk angka). Jika ada batas untuk urutan ini, kita akan mengambil angka itu dan menyebutnya 1/0, jadi mari kita lihat apakah ada.

Nah, ternyata urutan,1,2,3,4 dst ..., mendekati tak terhingga. Karena tak terhingga bukan angka sebenarnya, maka kita tidak memberikan nilai apapun untuk 1/0.  Sehingga hanya bisa dikatakan tidak terdefinisi.

Ketiga, Tapi jika kita berpikir untuk menyebutkan bahwa 1/0 = tak terhingga. Nah, apanya yang  "tak terhingga"? Bagaimana jika itu kita coba  pada persamaan lainnya?

Sebut saja andai : tak terhingga - tak terhingga = 0; dan 1 + tak terhingga = tak terhingga, maka:

1 + (tak terhingga - tak terhingga) = 1 + 0 = 1, tapi (1 + tak terhingga) - tak terhingga = tak terhingga - tak terhingga = 0. Beda kan, yang satu hasilnya 1 dan yang lainnya hasilnya 0.

Nah..nah, dalam hal ini, maka  aturan asosiatif tidak bekerja, karena dalam sifat asosiatif penjumlahan (a + b) + c = a + (b + c) 

Keempat, Jika kita punya mangga 20 buah kemudian akan dibagi habis kepada 2 kelompok anak, maka tiap kelompok akan mendapatkan 10 buah mangga, artinya 20/2 = 10

Jika 7/0 =? Bagaimana kita  bisa membagi 7 buah mangga dalam 0 kelompok anak.

Tidak peduli berapa banyak anak dalam kelompok nol yang kita miliki, karena mereka tidak pernah akan menambahkan hingga tujuh, karena  0 + 0 + 0 + 0 + 0 +0+0= 0. Anda bahkan dapat memiliki satu juta kelompok nol anak, dan tetap saja 0. Jadi, itu tidak masuk akal untuk membagi dengan nol karena tidak ada jawaban yang baik.

Setiap kali saya mencoba untuk membagi angka dengan 0 di excel , saya mendapatkan error. Atau coba praktekkan saja perhitungan ini di excel Anda:

       1/1

       1 / 0,1

       1 / 0,01

       1 / 0,001

       1 / 0,0001

       1 / 0,00001

       dll ...apa hasilnya....the formula you typed contains an error...begitu kurang lebih balasan excel. So, apapun sebutan Anda terhadap 1/0, bagi saya tidak ada jawabannya...hehehehe.....karena hampir pasti saya tidak akan membagi 1 dengan 0. Hehehehehe.....lagi.

Baca juga :
Logika negatif dikalikan negatif sama dengan positif

Teori Bilangan

Tak kenal maka tak sayang, demikian kata pepatah. Nah, agar kita sayang pada pelajaran matematika marilah bersama-sama kita mengenalnya diawali dengan teori-teori matematika. Kalau pada kesempatan yang lalu kita sudah membahas teori himpunan, kali ini kita akan membahas tentang teori bilangan.

Teori Bilangan merupakan cabang matematika yang secara umum membahas bilangan dan sifat-sifatnya (khususnya integer), berikut masalah dan klas masalah yang muncul dalam pembahasan. Bidang matematika ini sebelumnya dikenal dengan aritmatika. Akan tetapi dengan meluasnya kajian yang dilakukan (tidak terbatas dengan hanya kalkulasi dan sifatnya), selanjutnya bidang ini dikenal dengan teori bilangan.

Teori bilangan terbagi dalam beberapa subbidang, sesuai dengan metode yang digunakan dan jenis kajian yang diteliti, yaitu:

(1) Teori bilangan elementer

Yang menjadi obyek kajian adalah bilangan integer dengan pendekatan dasarnya adalah konsep keterbagian (divisibility). Dengan konsep dasar tersebut dikaji algoritma Euclid, pembagi bersama terbesar (greatest common divisor), faktorisasi integer ke dalam bilangan-bilangan prima, hubungan kekongruenan, persamaan Diophantine, bilangan sempurna (perfect number). Disamping itu dibahas pula barisan integer, faktorial, dan bilangan Fibonacci. Beberapa teorema yang penting dalam kajian teori bilangan antara lain teorema Euler, Teorema Fermat, teorema sisa Cina (Chinesse remainder theorem). Beberapa fungsi dan sifatnya yang muncul dalam kajian ini antara lain fungsi Mobius, fungsi Euler-j.

Beberapa teorema dalam teori bilangan elementer dapat dijelaskan dengan menggunakan pengertian-pengertian dalam teori bilangan elementer walaupun dengan kajian yang mendalam. 

Akan tetapi terdapat teorema yang memerlukan pendekatan lain di luar teori bilangan elementer untuk menyelesaikannya, seperti:

(i ) Konjektur Golbach, berhubungan dengan penyajian bilangan genap sebagai jumlah dua bilangan prima,

(ii)  Konjektur Catalan (sekarang dikenal dengan teorema Mihailescu), yang berhubungan dengan pangkat integer-integer berturutan

(iii)  Teorema terakhir Fermat, berhubungan dengan ketakmungkinan untuk memperoleh integer taknol x, y, z yang memenuhi xⁿ + yⁿ = zⁿ, untuk n > 2.

(Teorema ini dinyatakan sekitar tahun 1637 tak terbuktikan sampai tahun 1994)

(2) Teori bilangan analitik

Digunakan untuk masalah dalam teori bilangan elementer yang tidak dapat (atau sulit) dipecahkan menggunakan pendekatan teori bilangan elementer (seperti yang telah disebutkan di atas). Teori bilangan analitik ini menggunakan sarana kalkulus dan analisis kompleks untuk menangani pemecahan masalah yang berhubungan dengan integer. Beberapa diantaranya adalah teorema bilangan prima dan hubungannya dengan hipotesis Riemann, masalah Waring (penyajian integer sebagai jumlahan dari pangkat 2, 3, … dari integer). Di sini dipelajari juga pembuktian tetapan matematis transedental seperti e dan p (tetapi tetapan tersebut tidak

Operasi Himpunan

Gabungan (Union)

Diberikan himpunan  A dan B. Gabungan himpunan A dan B ditulis dengan AÈB adalah suatu himpunan yang anggotanya berada di A atau berada di B.

Jadi AÈB = { x | x Î A atau x Î B }

Contoh:

A = {a,b,c,1,2}  dan  B = {c,d,e,f}.  Maka AÈB = {a,b,c,d,e,f,1,2}

Irisan (Intersection)

Diberikan himpunan  A dan B. Irisan himpunan A dan B ditulis dengan AÇB adalah suatu himpunan yang anggotanya berada di A dan juga berada di B.

Jadi AÇB = { x | x Î A dan x Î B } Contoh:

A = {a,b,c,1,2}  dan  B = {c,d,e,f}.  Maka AÇB = {c}

P = {a,b,c,1,2} dan  Q = {d,e,f}. Maka AÇB = Æ

Komplemen

Diberikan suatu himpunan A. Komplemen dari A ditulis dengan “ Ac  “ adalah himpunan yang anggotanya berada dalam hiompunan semesta tetapi bukan berada di A.

Jadi Ac = { x | xΠS, xϠA }

Contoh: Diberikan semesta himpunan bilangan asli. Jika A = {0,2,4,6,…} maka Ac  = {1,3,5,…}

Sebelumnya....