Himpunan Semesta, Himpunan Kosong dan Himpunan Bagian

Himpunan Semesta
Himpunan   semesta   adalah   himpunan   yang   anggotanya   semua   objek  pembicaraan. Himpunan semesta dilambangkan dengan S atau U.
Contoh :
Kalau kita membahas mengenai 1, ½ , -2, -½ ,… maka semesta pembicaraan kita adalah bilangan real. Jadi himpunan semesta yang dimaksud adalah R. Apakah hanya R saja? Jawabannya tidak. Tergantung kita mau membatasi pembicaraanya. Pada contoh di atas bisa saja dikatakan semestanya adalah C (himpunan bilangan kompleks). Namun kita tidak  boleh  mengambil  Z  (himpunan  bilangan  bulat)  sebagai  semesta  pembicaraan. (Mengapa?).

Himpunan Kosong
Himpunan  kosong  adalah  himpunan  yang  tidak  mempunyai  anggota.  Dilambangkan dengan  Æ  atau {}
Contoh:
- Himpunan bilangan genap yang ganjil
- {x | x2< 0, x bilangan real}
- Himpunan orang yang tingginya 4 meter

Himpunan Bagian
Jika ada himpunan A dan B dimana setiap anggota A merupakan anggota B, maka dikatakan A  merupakan  himpunan  bagian  (subset)  dari  B  atau  dikatakan  B  memuat  A dan dilambangkan dengan AÌB.
Jadi AÌB jika dan hanya jika xÎA Þ xÎB
Jika ada anggota dari A yang bukan merupakan anggota B, maka A bukan bukan himpunan bagian dari B, dilambangkan dengan AËB.
Contoh:
-  A  =  {1,3,5} dan B = {0,1,2,3,4,5,6}. Maka  AB.
- C = {a,b,c,1,2} dan B = {0,1,2,3,4,5,6}.  Maka CB, karena ada anggota dari C yang bukan merupakan anggota B, yaitu a. (Pengertian “ada” berarti terdapat satu anggota C yang bukan merupakan anggota B, sudah cukup)
Suatu himpunan pasti merupakan subset dirinya sendiri. Jadi HÌH.
Bukti:
Ambil sembarang hÎH, maka jelas hÎH. Jadi HÌH.
Himpunan kosong (Æ) merupakan himpunan bagian dari semua himpunan.
Bukti:
Kalimat “xÎA Þ xÎB” pada pengertian himpunan bagian (lihat definisi di atas),   selalu  bernilai  benar  jika  diambil  A  =  Æ  dan  untuk  sembarang himpunan B.  Hal ini disebabkan syarat cukupnya selalu tidak terpenuhi. Sama saja dengan kita mengatakan “jika bulan bisa ngomong, maka dia tak akan bohong”. Kalimat  ini  selalu  bernilai  benar  karena  syarat cukupnya yaitu “bulan bisa ngomong” selalu tidak terpenuhi.
Sebelumnya

4 comments: