Aljabar :Pengertian Dasar (Bagian I) -Persamaan

Apa itu Persamaan?

Sumber gambar : alenasani.com

Namanya juga persamaan dari kata dasar ‘sama’ yang mendapatkan awalan dan akhiran ‘per-an’. Dengan demikian persamaan berarti ada dua hal yang sama. Dalam Matematika, persamaan ditandai dengan tanda sama dengan atau  "=" seperti berikut:

x + 6 = 12

Persamaan diatas menyatakan: apa yang ada di sebelah kiri (x + 6) adalah sama dengan apa yang ada di sebelah kanan (12).

Bagian dari Persamaan

Ada bagian-bagian pada sebuah persamaan . Sebut saja untuk contoh persamaan  8x-4 sama dengan 12 atau ditulis :

8x - 4 = 12

Dalam persamaan tersebut, ada beberapa bagian dan penamaannya, yaitu:

Variabel adalah simbol untuk angka yang belum kita ketahui (bisa x, y atau z) dalam persamaan diatas yang merupakan variable adalah x.

Konstanta adalah angka yang berdiri sendiri, dalam contoh persamaan diatas adalah angka 4 dan 12.

Koefisien adalah angka yang digunakan untuk memperbanyak variabel (8x berarti 8 kali x, sehingga 8 adalah koefisien).

Lebih jelasnya, lihat persamaan ini dan tentukan bagian-bagian persamaannya.

ax² + bx + c

Nah, tentunya perdasarkan persamaan diatas dapat ditentukan bagian-bagian persamaannya sebagai berikut:

x adalah variabel

a dan b adalah koefisien

c adalah konstanta 

Latihan soal 

Himpunan Kosong dan Contoh Soal

Jika pada posting terdahulu saya sudah membahas tentang himpunan, maka pada kali ini saya secara spesifik akan membahas tentang himpunan kosong dan contoh soalnya. Himpunan  kosong  adalah  himpunan  yang  tidak  mempunyai  anggota.  Dilambangkan dengan  Æ atau { }. Karenanya apakah { Æ } bisa disebut himpunan kosong? tentuya tidak! karena { Æ }adalah himpunan dengan anggota Æ. Begitu pula { 0 } juga bukan himpunan kosong, akan tetapi adalah himpunan yang memiliki satu anggota yaitu 0.

Contoh himpunan kosong :

- Himpunan bilangan genap yang ganjil

- {x | x2< 0, x bilangan real}

- Himpunan orang yang tingginya 4 meter

Himpunan Semesta, Himpunan Kosong dan Himpunan Bagian
Operasi Himpunan
Sifat Operasi Himpunan

Untuk lebih jelasnya selesaikan soal-soal berikut:

Tabel Pengguna Ponsel di sepuluh Negara

Berdasarkan Gambar tabel diatas selesaikan soal nomor 1-5 berikut:

1. {x| x adalah Negara dengan penggunaan ponsel kurang dari 250 juta }
2. {x| x adalah Negara dengan penggunaan ponsel lebih dari 250 juta }
3. {x| x adalah Negara dengan penggunaan ponsel antara 250 juta s/d 500 juta }
4. {x| x adalah Negara dengan penggunaan ponsel lebih dari 650 juta }
5. {x| x adalah Negara dengan penggunaan ponsel kurang dari 70 juta }

Grafik Penjualan Ipod Tahun 2003-2008

Berdasarkan Gambar grafik selesaikan soal nomor 6-10 berikut:

6. {x| x adalah tahun penjualan Ipod lebih dari 20 juta buah }
7. {x| x adalah tahun penjualan Ipod lebih dari 2 juta buah }
8. {x| x adalah tahun penjualan Ipod lebih dari 70 juta buah }

soal selengkapnya dapat download file soal: disini (pdf, 30 kb)
materi dan soal himpunan lengkap bisa didownload disini (pdf, 5,21 MB)

Phi, Misteri dan Sejarah Panjang Temuannya

sumber gambar : fintalk.biz

Phi, yang biasa ditulis dengan symbol sebagaimana gambar, sudah banyak diantara kita mengetahuinya...hehehe., iya kan? Sederhananya phi kita kenal sebagai konstanta berupa angka yang dipergunakan dalam operasi hitung untuk obyek lingkaran. Sudah menjadi kesepakatan, nilai phi adalah 22/7 atau 3,14.....

Masalahnya kenapa phi bisa memiliki nilai sebesar 22/7 atau 3,14? Kenapa kok .....misal phi nilainya 1 (satu) saja, kan enak jadinya, peserta didik tidak kesulitan menghitung luasan lingkaran, begitupun guru matematika tidak harus mikir-mikir membuat soal yang berhubungan dengan phi sehingga hasil perhitungannya tidak aneh-aneh.......,yang koma-komanya banyak.....hehehehe...Becanda Sahabat Belajar Menyukai Matematika.

Sahabat merasa ada yang aneh tidak dengan symbol phi? Tidak ya, karena pakar-pakar kebanyakan datangnya dari negeri jauh disana, kayak phi, yang katanya merupakan huruf Yunani. Coba, mau nulis di postingan saja harus nambah-nambah aplikasi gitu....hehehehe.

Phi merupkan perbandingan antara keliling lingkaran dengan diameternya. Berdasarkan percobaan yang dilakukan berkali-kali, selalu ditemukan bahwa keliling lingkaran dibanding diameternya selalu mendekati angka 3,141592653....yang umumnya disingkat menjadi 3,14. Dari Babilonia kuno (hampir 4000 tahun yang) sampai hari ini, matematikawan telah berusaha untuk menghitung angka phi yang misterius itu. Mereka telah mencari pecahan tepat, untuk angka yang diawali dengan 3,14159 2653 ..., yang umumnya disingkat menjadi 3,14.

Perburuan phi dimulai dari bangsa Babilonia dan Mesir, bisa dibayangkan, era sebegitu lamanya mereka sudah penasaran, melakukan eksperimen untuk membandingkan keliling lingkaran dengan diameternya. Tidak ada rekaman video selfie yang dengan jelas menggambarakan bagaimana mereka menemukan pendekatan mereka untuk pi (hmmm...andai jaman sekarang ya), tapi salah satu sumber menyatakan klaimnya, bahwa mereka hanya membuat lingkaran besar, dan kemudian diukur lingkar dan diameter dengan seutas tali. Mereka menggunakan metode ini untuk menemukan pi yang sedikit lebih besar dari 3.

Jika orang-orang di Balilonia dan Yunani tempo dulu telah melakukan eksperimen dan menghasilkan phi yang sedikit lebih besar dari 3, pada sekitar 1650 SM, Rhind Papyrus yang ditulis oleh Ahmes menyebutkan: "Potong 1/9 dari diameter dan buat sebuah persegi pada sisanya, ini memiliki area yang sama dengan lingkaran" . Dengan kata lain, dia menunjukkan bahwa pi = 4 (8/9) 2 = 3,16049, yang juga cukup akurat. Temuan ini tidak sempat menyebar ke Timur (apalagi sampai ke Indonesia, hehehe...).

       

Selama beberapa ratus tahun kemudian, tidak ada terobosan signifikan yang dibuat dalam pencarian phi. Di Cina nilai phi yang digunakan adalah 3. Menjelang akhir abad ke-5, TsuCh'ung-chih dan putranya Tsu Keng-chih menemukan sesuatu yang menakjubkan tentang phi. Ketika duet maut ayah dan anak itu menyebut bahwa phi sebagai nilai yang terletak diantara   3,1415926 dan 3,1415927 atau 3,1415926 <phi <3,1415927. Sesaat setelah itu, matematikawan Hindu Aryabhata memberikan nilai phi sebesar 62.832 / 20.000 = 3,1416 meski sebagaimana orang lain, ia pun tampaknya tidak pernah menggunakannya.

Hhmmmm....perjalanan belum berakhir Sahabat Menyukai Matematika, rasa ingin tahu membuat para ilmuwan selalu berupaya mencari nilai phi yang mendekati kebenarannya. Sampai akhirnya pada abad kedua puluh, komputer mengambil alih dan menguasai  dunia hitung-hitungan.....

Atau Anda akan melakukan riset tentang phi?....hehehehe. pastinya dalam dunia lingkaran luas lingkaran = (phi) x (r) x (r), meskipun ada beberapa soal matematika yang harus bersusah-susah memberi kurung penjelasan.....(kerjakan dengan phi=3,14)  atau (kerjakan dengan phi 22/7).......hehehehe

Misteri Angka 0: Hasil Bagi bilangan dengan angka Nol

Hmmmmm......jika beberapa waktu yang lalu saya pernah memposting kenapa negatif dikalikan negatif hasilnya positif, maka pada kesempatan ini saya akan mencoba mengungkap misteri pembagian bilangan dengan 0 (nol). Bagi yang sudah tahu, tunjuk jarinya nanti saja....hehehehe

Pembagian dengan nol adalah operasi yang jawabannya menjadi ‘misteri’, ga percaya coba saja pake beragam kalkulator, bagaimana hasilnya. Beragam kan? Ada yang muncul tulisan 0 di layar lcd kalkulator angka 0 dengan tambahan huruf E alias error....hehe. Sehingga pembagian dengan angka 0 seringnya dianulir karena jawabannya tidak ada atau sebagian menyebut undefined (tak terdifinisikan) atau bahkan ada yang menyebutnya infinity (tak terhingga) . Apa iya  demikian, mana yang benar? Mari kita lihat logika matematika berikut:

Pertama, Mari kita coba mengaitkan pembagian dengan perkalian. Sebut saja contoh berikut:

6/2=3, karena 2 dikalikan 3 adalah 6

10/2=5, karena 2 dikalikan 5 adalah 10

Karenanya ada rumusan bahwa a=b/c ==> b=a x c atau c = b/a

Lantas bagaimana jika 7/0=x?

Mengikuti rumus/kaidah/aksioma diatas, jika 7/0=x, maka x dikalikan 0 = 7. Sayangnya Tidak ada angka yang bisa menggantikan x, karena berapapun angka jika dikalikan dengan 0 hasilnya sama dengan 0.

Kedua, seringnya  ketika kita membagi satu angka dengan yang lain, kita berharap hasilnya menjadi angka lain (harus berbentuk angka). Lihatlah urutan angka berikut 1/ (1/2), 1/(1/3), 1/(1/4), dst.... Perhatikan bahwa dasar dari pembagian adalah 1/2, 1/3, 1/4, dst..., dan  bahwa mereka akan nol (kan harus berbentuk angka). Jika ada batas untuk urutan ini, kita akan mengambil angka itu dan menyebutnya 1/0, jadi mari kita lihat apakah ada.

Nah, ternyata urutan,1,2,3,4 dst ..., mendekati tak terhingga. Karena tak terhingga bukan angka sebenarnya, maka kita tidak memberikan nilai apapun untuk 1/0.  Sehingga hanya bisa dikatakan tidak terdefinisi.

Ketiga, Tapi jika kita berpikir untuk menyebutkan bahwa 1/0 = tak terhingga. Nah, apanya yang  "tak terhingga"? Bagaimana jika itu kita coba  pada persamaan lainnya?

Sebut saja andai : tak terhingga - tak terhingga = 0; dan 1 + tak terhingga = tak terhingga, maka:

1 + (tak terhingga - tak terhingga) = 1 + 0 = 1, tapi (1 + tak terhingga) - tak terhingga = tak terhingga - tak terhingga = 0. Beda kan, yang satu hasilnya 1 dan yang lainnya hasilnya 0.

Nah..nah, dalam hal ini, maka  aturan asosiatif tidak bekerja, karena dalam sifat asosiatif penjumlahan (a + b) + c = a + (b + c) 

Keempat, Jika kita punya mangga 20 buah kemudian akan dibagi habis kepada 2 kelompok anak, maka tiap kelompok akan mendapatkan 10 buah mangga, artinya 20/2 = 10

Jika 7/0 =? Bagaimana kita  bisa membagi 7 buah mangga dalam 0 kelompok anak.

Tidak peduli berapa banyak anak dalam kelompok nol yang kita miliki, karena mereka tidak pernah akan menambahkan hingga tujuh, karena  0 + 0 + 0 + 0 + 0 +0+0= 0. Anda bahkan dapat memiliki satu juta kelompok nol anak, dan tetap saja 0. Jadi, itu tidak masuk akal untuk membagi dengan nol karena tidak ada jawaban yang baik.

Setiap kali saya mencoba untuk membagi angka dengan 0 di excel , saya mendapatkan error. Atau coba praktekkan saja perhitungan ini di excel Anda:

       1/1

       1 / 0,1

       1 / 0,01

       1 / 0,001

       1 / 0,0001

       1 / 0,00001

       dll ...apa hasilnya....the formula you typed contains an error...begitu kurang lebih balasan excel. So, apapun sebutan Anda terhadap 1/0, bagi saya tidak ada jawabannya...hehehehe.....karena hampir pasti saya tidak akan membagi 1 dengan 0. Hehehehehe.....lagi.

Baca juga :
Logika negatif dikalikan negatif sama dengan positif

Teori Bilangan

Tak kenal maka tak sayang, demikian kata pepatah. Nah, agar kita sayang pada pelajaran matematika marilah bersama-sama kita mengenalnya diawali dengan teori-teori matematika. Kalau pada kesempatan yang lalu kita sudah membahas teori himpunan, kali ini kita akan membahas tentang teori bilangan.

Teori Bilangan merupakan cabang matematika yang secara umum membahas bilangan dan sifat-sifatnya (khususnya integer), berikut masalah dan klas masalah yang muncul dalam pembahasan. Bidang matematika ini sebelumnya dikenal dengan aritmatika. Akan tetapi dengan meluasnya kajian yang dilakukan (tidak terbatas dengan hanya kalkulasi dan sifatnya), selanjutnya bidang ini dikenal dengan teori bilangan.

Teori bilangan terbagi dalam beberapa subbidang, sesuai dengan metode yang digunakan dan jenis kajian yang diteliti, yaitu:

(1) Teori bilangan elementer

Yang menjadi obyek kajian adalah bilangan integer dengan pendekatan dasarnya adalah konsep keterbagian (divisibility). Dengan konsep dasar tersebut dikaji algoritma Euclid, pembagi bersama terbesar (greatest common divisor), faktorisasi integer ke dalam bilangan-bilangan prima, hubungan kekongruenan, persamaan Diophantine, bilangan sempurna (perfect number). Disamping itu dibahas pula barisan integer, faktorial, dan bilangan Fibonacci. Beberapa teorema yang penting dalam kajian teori bilangan antara lain teorema Euler, Teorema Fermat, teorema sisa Cina (Chinesse remainder theorem). Beberapa fungsi dan sifatnya yang muncul dalam kajian ini antara lain fungsi Mobius, fungsi Euler-j.

Beberapa teorema dalam teori bilangan elementer dapat dijelaskan dengan menggunakan pengertian-pengertian dalam teori bilangan elementer walaupun dengan kajian yang mendalam. 

Akan tetapi terdapat teorema yang memerlukan pendekatan lain di luar teori bilangan elementer untuk menyelesaikannya, seperti:

(i ) Konjektur Golbach, berhubungan dengan penyajian bilangan genap sebagai jumlah dua bilangan prima,

(ii)  Konjektur Catalan (sekarang dikenal dengan teorema Mihailescu), yang berhubungan dengan pangkat integer-integer berturutan

(iii)  Teorema terakhir Fermat, berhubungan dengan ketakmungkinan untuk memperoleh integer taknol x, y, z yang memenuhi xⁿ + yⁿ = zⁿ, untuk n > 2.

(Teorema ini dinyatakan sekitar tahun 1637 tak terbuktikan sampai tahun 1994)

(2) Teori bilangan analitik

Digunakan untuk masalah dalam teori bilangan elementer yang tidak dapat (atau sulit) dipecahkan menggunakan pendekatan teori bilangan elementer (seperti yang telah disebutkan di atas). Teori bilangan analitik ini menggunakan sarana kalkulus dan analisis kompleks untuk menangani pemecahan masalah yang berhubungan dengan integer. Beberapa diantaranya adalah teorema bilangan prima dan hubungannya dengan hipotesis Riemann, masalah Waring (penyajian integer sebagai jumlahan dari pangkat 2, 3, … dari integer). Di sini dipelajari juga pembuktian tetapan matematis transedental seperti e dan p (tetapi tetapan tersebut tidak

Operasi Himpunan

Gabungan (Union)

Diberikan himpunan  A dan B. Gabungan himpunan A dan B ditulis dengan AÈB adalah suatu himpunan yang anggotanya berada di A atau berada di B.

Jadi AÈB = { x | x Î A atau x Î B }

Contoh:

A = {a,b,c,1,2}  dan  B = {c,d,e,f}.  Maka AÈB = {a,b,c,d,e,f,1,2}

Irisan (Intersection)

Diberikan himpunan  A dan B. Irisan himpunan A dan B ditulis dengan AÇB adalah suatu himpunan yang anggotanya berada di A dan juga berada di B.

Jadi AÇB = { x | x Î A dan x Î B } Contoh:

A = {a,b,c,1,2}  dan  B = {c,d,e,f}.  Maka AÇB = {c}

P = {a,b,c,1,2} dan  Q = {d,e,f}. Maka AÇB = Æ

Komplemen

Diberikan suatu himpunan A. Komplemen dari A ditulis dengan “ Ac  “ adalah himpunan yang anggotanya berada dalam hiompunan semesta tetapi bukan berada di A.

Jadi Ac = { x | xΠS, xϠA }

Contoh: Diberikan semesta himpunan bilangan asli. Jika A = {0,2,4,6,…} maka Ac  = {1,3,5,…}

Sebelumnya....

Sifat Operasi pada Himpunan

Komutatif

Diberikan himpunan A dan B. Maka berlaku AÈB = BÈA dan juga AÇB = BÇA

Asosiatif

Diberikan himpunan A, B dan C.

Maka berlaku (AÈB)ÈC = AÈ(BÈC) dan juga (AÇB)ÇC= AÇ(BÇC).

  

Idempoten

Diberikan suatu himpunan A. Maka berlaku AÈA=A dan juga AÇA=A

  

Identitas

Diberikan suatu himpunan A dalam semesta S. Maka AÈS=A dan juga AÇS=A

Distributif

Diberikan himpunan A,B dan C.

Maka AÈ(BÇC) = (AÈB)Ç(AÈC) dan juga AÇ(BÈC)=(AÇB)È(AÇC)

Komplementer

Diberikan suatu himpunan A dalam semesta S. Maka AÈAc  = S dan  AÇAc  = Æ

Dalil De Morgan

Diberikan himpunan A dan B. Maka (AÈB)c  = Ac Ç Bc  dan (AÇB)c  = Ac  È Bc

Himpunan Semesta, Himpunan Kosong dan Himpunan Bagian

Himpunan Semesta

Himpunan   semesta   adalah   himpunan   yang   anggotanya   semua   objek  pembicaraan. Himpunan semesta dilambangkan dengan S atau U.

Contoh :

Kalau kita membahas mengenai 1, ½ , -2, -½ ,… maka semesta pembicaraan kita adalah bilangan real. Jadi himpunan semesta yang dimaksud adalah R. Apakah hanya R saja? Jawabannya tidak. Tergantung kita mau membatasi pembicaraanya. Pada contoh di atas bisa saja dikatakan semestanya adalah C (himpunan bilangan kompleks). Namun kita tidak  boleh  mengambil  Z  (himpunan  bilangan  bulat)  sebagai  semesta  pembicaraan. (Mengapa?).

Himpunan Kosong dan Contoh Soal

Himpunan Kosong

Himpunan  kosong  adalah  himpunan  yang  tidak  mempunyai  anggota.  Dilambangkan dengan  Æ  atau {}

Contoh:

- Himpunan bilangan genap yang ganjil

- {x | x2< 0, x bilangan real}

- Himpunan orang yang tingginya 4 meter

Himpunan Bagian

Jika ada himpunan A dan B dimana setiap anggota A merupakan anggota B, maka dikatakan A  merupakan  himpunan  bagian  (subset)  dari  B  atau  dikatakan  B  memuat  A dan dilambangkan dengan AÌB.

Jadi AÌB jika dan hanya jika xÎA Þ xÎB

Jika ada anggota dari A yang bukan merupakan anggota B, maka A bukan bukan himpunan bagian dari B, dilambangkan dengan AËB.

Contoh:

-  A  =  {1,3,5} dan B = {0,1,2,3,4,5,6}. Maka  AB.

- C = {a,b,c,1,2} dan B = {0,1,2,3,4,5,6}.  Maka CB, karena ada anggota dari C yang bukan merupakan anggota B, yaitu a. (Pengertian “ada” berarti terdapat satu anggota C yang bukan merupakan anggota B, sudah cukup)

Suatu himpunan pasti merupakan subset dirinya sendiri. Jadi HÌH.
Bukti:
Ambil sembarang hÎH, maka jelas hÎH. Jadi HÌH.
Himpunan kosong (Æ) merupakan himpunan bagian dari semua himpunan.
Bukti:
Kalimat “xÎA Þ xÎB” pada pengertian himpunan bagian (lihat definisi di atas),   selalu  bernilai  benar  jika  diambil  A  =  Æ  dan  untuk  sembarang himpunan B.  Hal ini disebabkan syarat cukupnya selalu tidak terpenuhi. Sama saja dengan kita mengatakan “jika bulan bisa ngomong, maka dia tak akan bohong”. Kalimat  ini  selalu  bernilai  benar  karena  syarat cukupnya yaitu “bulan bisa ngomong” selalu tidak terpenuhi.

Sebelumnya

Pendefinisian Himpunan

Ada empat cara untuk mendefinisikan himpunan , yaitu :

1. Mendaftarkan semua anggotanya.

Contoh:

A = {1,3,5,7,9}

B = {2,3,5,7,11,13,17,19}

2. Menyatakan sifat yang dimiliki anggotanya 

Contoh:

Perhatikan himpunan pada contoh 1 di atas dan bandingkan dengan pendefinisian di bawah ini

A = Himpunan bilangan ganjil kurang dari 10

B = Himpunan bilangan prima yang kurang dari 20

3. Menyatakan sifat dengan pola

Contoh:

P = {0,2,4,8,10,…,16}

Q = {1,3,5,7,9,11,13,15,…}

Awas dalam kasus:   R = { 3,5,7,…,19}. Penulisan himpunan seperti ini bukan merupakan well-defined karena memunculkan ambigu, yaitu R dapat diartikan sebagai himpunan bilangan ganjil yang lebih besar dari 1 dan kurang dari 20. Sementara itu R  dapat diartikan pula sebagai himpunan bilangan prima  yang  lebih besar dari 1 dan kurang dari 20. Oleh  karena itu pendefinisian  himpunan dengan menyatakan pola seperti ini harus sangat hati-hati agar tidak menimbulkan tafsiran lain.

4. Menggunakan notasi pembentuk himpunan

Contoh:

P = {x | x himpunan bilangan asli antara 1 dan 10} (Maksudnya P = {2,3,4,5,6,7,8,9})

Q = { t |  t biangan asli}(Maksudnya Q = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…}

R = { s | s2-1=0, s bilangan real} (Maksudnya R = {-1,1}). Sebelumnya>>>Selanjutnya

Teori Himpunan

Pada kesempatan ini saya akan mencoba mengurai secara bersambung mengenai bidang kajian matematika. Saya akan memulainya dari teori himpunan.

Apa itu himpunan? ya dalam bahasa sehari-hari himpunan bisa diartikan kelompok atau kumpulan sesuatu.Ya namanya sesuatu bisa berupa benda, orang dll.

Nah, dalam ilmu matematika himpunan merupakan konsep dasar dari semua cabang matematika. Himpunan diartikan sebagai sekumpulan objek yang mempunyai syarat tertentu dan jelas. Ingat ya kata-kata tertentu dan jelas, artinya bisa didefinisikan dengan jelas. Syarat tertentu dan jelas dalam menentukan anggota suatu himpunan ini sangat penting karena untuk membedakan mana yang menjadi anggota himpunan dan mana yang bukan merupakan anggota himpunan. Inilah yang kemudian dinamakan himpunan yang terdefinisi dengan baik (well-defined set). Gamblangnya...kalau kumpulan orang tinggi itu kan ga jelas, beda dengan kumpulan orang yang tingginya 175 cm.....hehehehe. Sedangkan objek yang dimaksud dapat berupa bilangan, manusia, hewan, tumbuhan, negara dan sebagainya. Objek ini yang selanjutnya dinamakan anggota atau elemen dari himpunan itu. 

Adalah Georg Cantor yang dikenal sebagai bapak teori himpunan. Georg Cantor (1845-1918) adalah seorang matematikawan asal Jerman keturunan Yahudi. Pria dengan nama lengkap Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, ini lahir di St Petersburg, Russia 3 Maret 1845 dan meninggal di Halle, Jerman 6 Januari 1918. Antara tahun 1874 dan 1897, ahli matematika dan ahli logika ini  membuat teori himpunan dari entitas yang abstrak dan membuatnya menjadi suatu disiplin matematika. Teori ini tumbuh dari penelitiannya terhadap beberapa masalah konkret tentang jenis tertentu yang terbatas pada himpunan bilangan real. Dia dianggap sebagai bapak teori himpunan karena dialah yang mengembangkan pertamakali cabang matematika ini. 

Notasi

Himpunan biasanya dinyatakan dengan huruf besar A, B, C, H, K dan sebagainya. Untuk menyatakan    suatu himpunan  digunakan simbol “{….}”. Sementara itu untuk melambangkan anggota himpunan biasanya menggunakan  huruf kecil a, b, c, x, y dan sebagainya. Sedangkan untuk  menyatakan anggota suatu himpunan digunakan lambang “Δ (baca: anggota) dan  Ï (baca: bukan anggota) untuk menyatakan bukan anggota. Selanjutnya