Teori Bilangan merupakan cabang matematika yang secara umum membahas bilangan dan sifat-sifatnya (khususnya integer), berikut masalah dan klas masalah yang muncul dalam pembahasan. Bidang matematika ini sebelumnya dikenal dengan aritmatika. Akan tetapi dengan meluasnya kajian yang dilakukan (tidak terbatas dengan hanya kalkulasi dan sifatnya), selanjutnya bidang ini dikenal dengan teori bilangan.
Teori bilangan terbagi dalam beberapa subbidang, sesuai dengan metode yang digunakan dan jenis kajian yang diteliti, yaitu:
(1) Teori bilangan elementer
Yang menjadi obyek kajian adalah bilangan integer dengan pendekatan dasarnya adalah konsep keterbagian (divisibility). Dengan konsep dasar tersebut dikaji algoritma Euclid, pembagi bersama terbesar (greatest common divisor), faktorisasi integer ke dalam bilangan-bilangan prima, hubungan kekongruenan, persamaan Diophantine, bilangan sempurna (perfect number). Disamping itu dibahas pula barisan integer, faktorial, dan bilangan Fibonacci. Beberapa teorema yang penting dalam kajian teori bilangan antara lain teorema Euler, Teorema Fermat, teorema sisa Cina (Chinesse remainder theorem). Beberapa fungsi dan sifatnya yang muncul dalam kajian ini antara lain fungsi Mobius, fungsi Euler-j.
Beberapa teorema dalam teori bilangan elementer dapat dijelaskan dengan menggunakan pengertian-pengertian dalam teori bilangan elementer walaupun dengan kajian yang mendalam.
Akan tetapi terdapat teorema yang memerlukan pendekatan lain di luar teori bilangan elementer untuk menyelesaikannya, seperti:
(i ) Konjektur Golbach, berhubungan dengan penyajian bilangan genap sebagai jumlah dua bilangan prima,
(ii) Konjektur Catalan (sekarang dikenal dengan teorema Mihailescu), yang berhubungan dengan pangkat integer-integer berturutan
(iii) Teorema terakhir Fermat, berhubungan dengan ketakmungkinan untuk memperoleh integer taknol x, y, z yang memenuhi xn +
yn =
zn, untuk n > 2.
(Teorema ini dinyatakan sekitar tahun 1637 tak terbuktikan sampai tahun 1994)
(2) Teori bilangan analitik
Digunakan untuk masalah dalam teori bilangan elementer yang tidak dapat (atau sulit) dipecahkan menggunakan pendekatan teori bilangan elementer (seperti yang telah disebutkan di atas). Teori bilangan analitik ini menggunakan sarana kalkulus dan analisis kompleks untuk menangani pemecahan masalah yang berhubungan dengan integer. Beberapa diantaranya adalah teorema bilangan prima dan hubungannya dengan hipotesis Riemann, masalah Waring (penyajian integer sebagai jumlahan dari pangkat 2, 3, … dari integer). Di sini dipelajari juga pembuktian tetapan matematis transedental seperti e dan p (tetapi tetapan tersebut tidak
menjadi obyek bilangan sebagai dasar pembahasan)
menjadi obyek bilangan sebagai dasar pembahasan)
(3) Aljabar bilangan
Dikaji perluasan konsep bilangan dengan bilangan aljabar (pendekatan aljabar). Beberapa pembahasan yang dilakukan diantaranya persamaan polinomial dan akarnya. Pembasasan lanjut di sini diantaranya teori Galois, grup homologi, representasi grup, fungsi-L. Beberapa pertanyaan teoritis yang dipecahkan berhubungan dengan kajian modulo p, untuk bilangan prima p (i.e grup berhingga)
(4) Geometri bilangan
Berhubungan dengan konsep dasar geometris untuk memecahkan masalah dalam teori bilangan (seperti lattice). Pembahasan dimulai dengan teorema Minskowski yang berhubungan dengan titik-titik lattice dalam himpunan konveks, yang akan membawa ke pembuktian dasar
keberhinggaan dari klas bilangan dan teorema Dirichlets (dua teorema fundamental dalam aljabar teori bilangan).
(5) Teori bilangan kombinatorial
Berhubungan dengan masalah teoritis yang melibatkan konsep kombinatorial dalam penurunan penyelesaiannya. Beberapa topik khusus di sini diantaranya covering system, masalah jumlah nol, barisan aritmatik dalam himpunan integer. Dalam
menurunkan penyelesaian biasanya digunakan pendekatan aljabar.
menurunkan penyelesaian biasanya digunakan pendekatan aljabar.
(6) Komputasi teori bilangan
Dipelajari algoritma-algoritma dan tekniknya yang relevan dalam teori bilangan. Misalnya algoritma cepat pengujian prima dan faktorisasi integer. Teknik dan algoritma ini penting penerapannya dalam bidang Kriptografi.
EmoticonEmoticon